UNIDAD II
FUNCIONES Y MODELOS MATEMATICOS EN CONTEXTO
Para lograr esa comprensión es necesario adentrarnos en la noción de Correspondencia, ya que esta tiene un papel fundamental en las relaciones y funciones.
Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a Relación. En nuestra lengua, decir “en relación a”, es equivalente a decir “corresponde a”.
Ejemplos:
En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio.
En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un número; o sea, a cada nombre de la guía le corresponde un número.
Definición matemática de Relación y de Función
En matemática, Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del Recorrido o Rango.
Por su parte, una Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.
Dados dos conjuntos A y B una relación definida de A en B es un conjunto de parejas ordenadas (par ordenado) que hacen verdadera una proposición; dicho de otro modo, una relación es cualquier subconjunto del producto cartesiano A x B
Ejemplo 1.
Si A = {2, 3} y B = {1, 4, 5}, encontrar tres relaciones definidas de A en B.
Solución
El producto cartesiano de A x B está conformado por las siguientes parejas o pares ordenados:
A x B = {(2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 4), (3, 5)}
Y cada uno de los siguientes conjuntos corresponde a relaciones definidas de A en B:
R1 = {(2, 1), (3, 1)}
R2 = {(2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
R3 = {(2, 4), (3, 5)}
La relación R1 se puede definir como el conjunto de pares cuyo segundo elemento es 1, esto es,
R1 = {(x, y) / y = 1}.
La relación R2 está formada por los pares cuyo primer componente es menor que el segundo componente.
R2 = {(x, y) / x < y}
Y la relación R3 está conformada por todos los pares que cumplen con que el segundo componente es dos unidades mayor que el primer componente, dicho de otro modo.
R3 = {(x, y) / y = x + 2}
Así, se puede continuar enumerando relaciones definidas a partir de A x B. Como se puede ver, la regla que define la relación se puede escribir mediante ecuaciones o desigualdades que relacionan los valores de x e y. Estas reglas son un medio conveniente para ordenar en pares los elementos de los dos conjuntos.
Ejemplo 2.
Dados los conjuntos C = {1, –3} y D = {2, 3, 6}, encontrar todos los pares ordenados (x, y) que satisfagan la relación
R = {(x, y) / x + y = 3}
Solución
El producto cartesiano de C x D está formado por los siguientes pares ordenados
C x D = {(1, 2), (1, 3), (1, 6), (–3, 2), (–3, 3), (–3, 6)}
Las parejas ordenadas que satisfacen que la suma de sus componentes sea igual a 3 son:
R = {(1, 2), (–3, 6)}
Toda relación queda definida si se conoce el conjunto de partida, el conjunto de llegada y la regla mediante la cual se asocian los elementos. En el ejemplo anterior, el conjunto de partida corresponde al conjunto C, el conjunto de llegada es el conjunto D y la expresión x + y = 3 es la regla que asocia los elementos de los dos conjuntos.
Dominio y rango de una relación
El dominio de una relación es el conjunto de preimágenes; es decir, el conjunto formado por los elementos del conjunto de partida que están relacionados. Al conjunto de imágenes, esto es, elementos del conjunto de llegada que están relacionados, se le denomina recorrido o rango.
Ejemplo 3
Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {4, 5, 6, 7, 8} y R la relación definida de A en B determinada por la regla “y es el doble de x” o “y = 2x”, encontrar dominio y rango de la relación.
Solución
El total de pares ordenados que podemos formar, o producto cartesiano es:
A x B = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (1, 7), (1, 8), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (2, 7), (2, 8), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 7), (3, 8), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 7), (4, 8)}
Pero los pares que pertenecen a la relación R (y = 2x) son solo:
R = {(2, 4), (3, 6), (4, 8)}
En esta relación vemos que: “4 es el doble de 2”; esto es, “4 es la imagen de 2 bajo R”, dicho de otro modo, “2 es preimagen de 4”.
Así, el dominio y rango son:
D = {2, 3, 4}
Rg = {4, 6, 8}
Según lo que vemos, ¿Qué relación hay entre el Dominio y el conjunto de partida?
En el Dominio falta el elemento 1 del conjunto de partida, por lo tanto el Dominio es un subconjunto de A.
Otra pregunta: ¿Todo elemento del conjunto de llegada es elemento del rango?
La respuesta es no, pues en el rango faltan el 5 y el 7.
VIDEO ¿Qué es una Función Matemática?
VIDEO Relaciones y Funciones Ejercicio1
VIDEO Relaciones y Funciones Ejercicio 2
Funciones
Concepto de función (de una variable real)
“Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.” “Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio. “
“Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contradominio o imagen.”
Debido a una de las diversas reformas en la enseñanza, en ésta caso de las matemáticas, la definición de función empleando conjuntos predominó en México en la década de los 60´s, el fracaso de la mencionada reforma no se hizo esperar debido al excesivo nivel de formalización.
No se puede negar la necesidad de sistematizar y formalizar la matemática, en especial el concepto de función y tampoco podemos dejar la matemática a un nivel de supuesta facilidad que oculte su carácer formal.
Considero que se puede iniciar el estudio de la función a partir del carácter intuitivo que tenemos de ella, es mejor comprender el concepto de función en lugar de memorizar una definición formal sin que sepamos el significado, gradualmente podremos lograr la construcción personal del concepto de función.
Vamos a trabajar con ambos enfoques iniciando con el intuitivo hasta construir el formal, cada uno de nosotros trabajara en su propia definición de función y conforme avancemos en éste y los demás cursos de matemáticas, podamos ir modificando y mejorando nuestra interpretación.
Nuevamente menciono que es más importante lograr la comprensión del concepto a memorizar una definición y no entenderla..
Lecturas
A continuación se comparten definiciones de función de cinco autores conocidos, de invita a la lectura para que saquen sus propias conclusiones y ayuden en la elaboración de la definición personal de función. Ayres, Leithold, Roland, Spivak y Stewart.
Clasificación de las funciones
Una vez que logremos un acuerdo sobre una definición de función que puede ser semejante a: “Una función relaciona una variable independiente con otra dependiente de tal forma que a cada valor de la primera le corresponde un y sólo un valor de la segunda”, ahora vamos clasificar los diferentes tipos de acuerdo a la relación que exista entre las variables, en este curso usaremos una expresión o fórmula para nombrar el tipo de relación
Existe gran cantidad de información al respecto, a continuación una muestra de la clasificacion de funciones ampliamente difundida en Internet.
Formas de representar una función
Ya avanzamos la clasificación de funciones y el tipo de expresión que las representa, pero todavía nos falta “verla”. Desde la época de René Descartes se empezó a considerar la representación gráfica de las funciones a partir de su expresión algebraica .
Para propósitos prácticos, es suficiente recordar que de manera general las funciones pueden ser algebraicas o trascendentes.
Escrito y gráfica realizados por Newton 1676
Para calcular un valor particular de la función actualmente se utiliza la expresión Y = f(x), la palabra “functio” la introdujeron Leibnitz y J. Bernoulli, y el símbolo f fue propuesto por Euler. ¿Por qué es importante la representación de de las funciones mediante fórmulas? Porque de esa manera se pueden estudiar mejor las funciones y se puede saber de manera precisa como se relacionan las variables dependiente e independiente.
Otra forma de representar las funciones es por medio de tablas, las que generalmente se elaboran a partir de una expresión dada (fórmula o expresión algebraica generalmente) y un conjunto de valores de la variable independiente X. Pero todavía existe otra forma en que podemos representar una función: la verbal
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El aprenderse de memoria la clasificación ¿es suficiente?, ¿es evidencia de haber aprendido matemáticas? Creo que no, a menos que sepamos el tipo de expresión correspondiente y posteriormente la gráfica asociada, pero vamos por partes.
Concluyendo: tenemos al menos cuatro formas de representar una función
1. Verbal o descriptiva
2. Con fórmula o analítica (generalmente expresión algebraica)
3. Tabular o numérica
4. De manera gráfica o visual
Visualización de las funciones
Generalmente con la información contenida en las tablas se elabora la gráfica, pero vamos a experimentar con otras dos formas que nos permitan trazar las gráficas de las funciones: analizando las fórmulas y usando calculadora graficadora o computadoras.
Entonces vamos a proponer tres formas que nos permitan trazar las gráficas de las funciones:
1. Mediante tablas.
2. Analizando las fórmulas.
3. Usando calculadora graficadora o computadoras (software).
Ventajas y desventajas
.
Tablas
En nuestra experiencia escolar hemos graficado funciones mediante puntos a partir de pares ordenados tomados de las tablas.
Sabemos que es un medio lento, un tanto tedioso y con una cantidad frecuente de errores al estar manipulando la calculadora, pero el principal problema es el tiempo invertido en la tabulación que nos queda poco tiempo para el análisis de las funciones.
Análisis de fórmulas
La segunda forma de trazar gráficas también la hemos usado, aunque en menor medida -recuerden los puntos importantes como los ceros de la función, ordenada al origen, puntos máximo y mínimo. - seguiremos trabajando en ella.
Software
La tercer manera para graficar funciones la emplearemos los próximos días. Debemos aclarar que el software o cualquier otro medio tecnológico para trazar gráficas no limitan ni sustituyen la la acción de pensar sino que sirven para ampliar la comprensión del problema que estemos estudiando.
Siendo las gráficas un medio para representar ciertas relaciones como son las funciones, es conveniente estar de acuerdo que las gráficas por sí mismas carecen de sentido y que debemos acompañar cada gráfica con un análisis del comportamiento de la función. Visualizar una función no significa adoptar una actitud pasiva y contemplar la gráfica obtenida unando tecnología.
Para evitar ser usuarios pasivos de la tecnología, se propone que se acompañe cada gráfica con un análisis qué incluya las siguientes anotaciones:
1. El tipo de curva
2. Intervalo del dominio
3. Intervalo del contradominio o imagen
4. Dónde es positiva
5. Intersección con el eje “Y” (donde la “X” vale cero)
6. Ceros: intersección(es) con el eje “X” (donde la “Y” vale cero)
7. Dónde es negativa
8. Si es continua o discontinua
9. Cómo son sus asíntotas: ¿horizontales, verticales, oblicuas? (si es que las tiene)
10. Cuántos máximos y /o mínimos tiene
11. Dónde crece
12. Dónde decrece
Graphmatica
Actualmente existe un número indeterminado software que permite graficar diversas relaciones entre variables, no solo funciones, puede ser de paga como el extinto DERIVE, ahora solo incluido en calculadoras, también tenemos a Maple, Mathcad, Cabri etc., etc., ah! y no podemos olvidar el gran desempeño actual de calculadoras graficadoras de TI, CASIO o HP.
Además del costo, la cantidad de aplicaciones que tienen esos programas dificultaría su uso o requeriría invertir mucho tiempo para operarlos con facilidad. Afortunadamente en Internet hay EXCELENTES programas GRATUITOS para graficar, con facilidad de uso y que incluyen las aplicaciones que necesitaremos en el curso, de momento usaremos , si aun no lo tienen pueden descargarlo aquí.
El uso del programa Graphmatica es relativamente sencillo, pero si hubiese alguna dificultad para su operación pueden consultar esta presentación de PowerPoint, si existiesen más dudas sobre como utilizar el programa podemos comentarlas en clase.
¿Todas las gráficas son funciones?Cuando estemos analizando las representaciones gráficas de algunas expresiones algegraicas puede darse el caso de que nos preguntemos si una determinada gráfica corresponde a una función.
Utilicemos la definición de función “Una función relaciona una variable independiente con otra dependiente de tal forma que a cada valor de la primera le corresponde un y sólo un valor de la segunda”, en otras palabras, solo puede haber un valor de Y por cada valor de X.
El "equivalente gráfico" de la definición toma forma como la regla o prueba de la "línea vertical” si una línea vertical solo interseca o corta una vez a la gráfica, entonces corresponde a una función y si la corta más de una vez la gráfica no es una función. En las siguientes gráficas solo la de la izquierda (inciso a) es función.
Utilicemos la definición de función “Una función relaciona una variable independiente con otra dependiente de tal forma que a cada valor de la primera le corresponde un y sólo un valor de la segunda”, en otras palabras, solo puede haber un valor de Y por cada valor de X.
El "equivalente gráfico" de la definición toma forma como la regla o prueba de la "línea vertical” si una línea vertical solo interseca o corta una vez a la gráfica, entonces corresponde a una función y si la corta más de una vez la gráfica no es una función. En las siguientes gráficas solo la de la izquierda (inciso a) es función.
El concepto de función es uno de los más importantes en matemáticas, sin embargo existe dificultad para una correcta comprensión. Lo anterior parece difícil de creer si se tiene en cuenta que ya existía el concepto de manera intuitiva desde la antigüedad, al menos desde hace 4000 años. El concepto intuitivo de función permaneció sin cambio hasta el año 1718 en que el gran matemático Johann Bernoulli define por primera vez lo que es una función: “Se llama función de una variable a una cantidad compuesta, de manera que sea, por esa variable y por constantes”, Leonhard Euler complementa la definición en 1748, cambiando la palabra “cantidad” por “expresión analítica”. El proceso de ajustes a la definición de función continúa por varias décadas hasta que a finales del siglo XIX y principios del XX surge un nuevo concepto llamado “conjunto”, que influyó en las posteriores definiciones de la función, la más importante realizada por un grupo de matemáticos, que se hacían llamar Bourbaki, quienes en 1939 le imprimieron un carácter de mayor formalidad a la definición.
No se puede negar la necesidad de sistematizar y formalizar la matemática, en especial el concepto de función y tampoco podemos dejar la matemática a un nivel de supuesta facilidad que oculte su carácer formal.
Considero que se puede iniciar el estudio de la función a partir del carácter intuitivo que tenemos de ella, es mejor comprender el concepto de función en lugar de memorizar una definición formal sin que sepamos el significado, gradualmente podremos lograr la construcción personal del concepto de función.
Vamos a trabajar con ambos enfoques iniciando con el intuitivo hasta construir el formal, cada uno de nosotros trabajara en su propia definición de función y conforme avancemos en éste y los demás cursos de matemáticas, podamos ir modificando y mejorando nuestra interpretación.
Nuevamente menciono que es más importante lograr la comprensión del concepto a memorizar una definición y no entenderla..
Lecturas
A continuación se comparten definiciones de función de cinco autores conocidos, de invita a la lectura para que saquen sus propias conclusiones y ayuden en la elaboración de la definición personal de función. Ayres, Leithold, Roland, Spivak y Stewart.
Clasificación de las funciones
Una vez que logremos un acuerdo sobre una definición de función que puede ser semejante a: “Una función relaciona una variable independiente con otra dependiente de tal forma que a cada valor de la primera le corresponde un y sólo un valor de la segunda”, ahora vamos clasificar los diferentes tipos de acuerdo a la relación que exista entre las variables, en este curso usaremos una expresión o fórmula para nombrar el tipo de relación
Existe gran cantidad de información al respecto, a continuación una muestra de la clasificacion de funciones ampliamente difundida en Internet.
Ya avanzamos la clasificación de funciones y el tipo de expresión que las representa, pero todavía nos falta “verla”. Desde la época de René Descartes se empezó a considerar la representación gráfica de las funciones a partir de su expresión algebraica .
Para calcular un valor particular de la función actualmente se utiliza la expresión Y = f(x), la palabra “functio” la introdujeron Leibnitz y J. Bernoulli, y el símbolo f fue propuesto por Euler. ¿Por qué es importante la representación de de las funciones mediante fórmulas? Porque de esa manera se pueden estudiar mejor las funciones y se puede saber de manera precisa como se relacionan las variables dependiente e independiente.
Otra forma de representar las funciones es por medio de tablas, las que generalmente se elaboran a partir de una expresión dada (fórmula o expresión algebraica generalmente) y un conjunto de valores de la variable independiente X. Pero todavía existe otra forma en que podemos representar una función: la verbal
El aprenderse de memoria la clasificación ¿es suficiente?, ¿es evidencia de haber aprendido matemáticas? Creo que no, a menos que sepamos el tipo de expresión correspondiente y posteriormente la gráfica asociada, pero vamos por partes.
Concluyendo: tenemos al menos cuatro formas de representar una función
1. Verbal o descriptiva
2. Con fórmula o analítica (generalmente expresión algebraica)
3. Tabular o numérica
4. De manera gráfica o visual
Visualización de las funciones
Generalmente con la información contenida en las tablas se elabora la gráfica, pero vamos a experimentar con otras dos formas que nos permitan trazar las gráficas de las funciones: analizando las fórmulas y usando calculadora graficadora o computadoras.
Entonces vamos a proponer tres formas que nos permitan trazar las gráficas de las funciones:
1. Mediante tablas.
2. Analizando las fórmulas.
3. Usando calculadora graficadora o computadoras (software).
Ventajas y desventajas
.
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Tablas
En nuestra experiencia escolar hemos graficado funciones mediante puntos a partir de pares ordenados tomados de las tablas.
Sabemos que es un medio lento, un tanto tedioso y con una cantidad frecuente de errores al estar manipulando la calculadora, pero el principal problema es el tiempo invertido en la tabulación que nos queda poco tiempo para el análisis de las funciones.
Análisis de fórmulas
La segunda forma de trazar gráficas también la hemos usado, aunque en menor medida -recuerden los puntos importantes como los ceros de la función, ordenada al origen, puntos máximo y mínimo. - seguiremos trabajando en ella.
Software
La tercer manera para graficar funciones la emplearemos los próximos días. Debemos aclarar que el software o cualquier otro medio tecnológico para trazar gráficas no limitan ni sustituyen la la acción de pensar sino que sirven para ampliar la comprensión del problema que estemos estudiando.
Siendo las gráficas un medio para representar ciertas relaciones como son las funciones, es conveniente estar de acuerdo que las gráficas por sí mismas carecen de sentido y que debemos acompañar cada gráfica con un análisis del comportamiento de la función. Visualizar una función no significa adoptar una actitud pasiva y contemplar la gráfica obtenida unando tecnología.
Para evitar ser usuarios pasivos de la tecnología, se propone que se acompañe cada gráfica con un análisis qué incluya las siguientes anotaciones:
1. El tipo de curva
2. Intervalo del dominio
3. Intervalo del contradominio o imagen
4. Dónde es positiva
5. Intersección con el eje “Y” (donde la “X” vale cero)
6. Ceros: intersección(es) con el eje “X” (donde la “Y” vale cero)
7. Dónde es negativa
8. Si es continua o discontinua
9. Cómo son sus asíntotas: ¿horizontales, verticales, oblicuas? (si es que las tiene)
10. Cuántos máximos y /o mínimos tiene
11. Dónde crece
12. Dónde decrece
Siendo las gráficas un medio para representar ciertas relaciones como son las funciones, es conveniente estar de acuerdo que las gráficas por sí mismas carecen de sentido y que debemos acompañar cada gráfica con un análisis del comportamiento de la función. Visualizar una función no significa adoptar una actitud pasiva y contemplar la gráfica obtenida unando tecnología.
Para evitar ser usuarios pasivos de la tecnología, se propone que se acompañe cada gráfica con un análisis qué incluya las siguientes anotaciones:
1. El tipo de curva
2. Intervalo del dominio
3. Intervalo del contradominio o imagen
4. Dónde es positiva
5. Intersección con el eje “Y” (donde la “X” vale cero)
6. Ceros: intersección(es) con el eje “X” (donde la “Y” vale cero)
7. Dónde es negativa
8. Si es continua o discontinua
9. Cómo son sus asíntotas: ¿horizontales, verticales, oblicuas? (si es que las tiene)
10. Cuántos máximos y /o mínimos tiene
11. Dónde crece
12. Dónde decrece
Graphmatica
Actualmente existe un número indeterminado software que permite graficar diversas relaciones entre variables, no solo funciones, puede ser de paga como el extinto DERIVE, ahora solo incluido en calculadoras, también tenemos a Maple, Mathcad, Cabri etc., etc., ah! y no podemos olvidar el gran desempeño actual de calculadoras graficadoras de TI, CASIO o HP.
Además del costo, la cantidad de aplicaciones que tienen esos programas dificultaría su uso o requeriría invertir mucho tiempo para operarlos con facilidad. Afortunadamente en Internet hay EXCELENTES programas GRATUITOS para graficar, con facilidad de uso y que incluyen las aplicaciones que necesitaremos en el curso, de momento usaremos , si aun no lo tienen pueden descargarlo aquí.
El uso del programa Graphmatica es relativamente sencillo, pero si hubiese alguna dificultad para su operación pueden consultar esta presentación de PowerPoint, si existiesen más dudas sobre como utilizar el programa podemos comentarlas en clase.
¿Todas las gráficas son funciones?Cuando estemos analizando las representaciones gráficas de algunas expresiones algegraicas puede darse el caso de que nos preguntemos si una determinada gráfica corresponde a una función.
Utilicemos la definición de función “Una función relaciona una variable independiente con otra dependiente de tal forma que a cada valor de la primera le corresponde un y sólo un valor de la segunda”, en otras palabras, solo puede haber un valor de Y por cada valor de X.
El "equivalente gráfico" de la definición toma forma como la regla o prueba de la "línea vertical” si una línea vertical solo interseca o corta una vez a la gráfica, entonces corresponde a una función y si la corta más de una vez la gráfica no es una función. En las siguientes gráficas solo la de la izquierda (inciso a) es función.
Utilicemos la definición de función “Una función relaciona una variable independiente con otra dependiente de tal forma que a cada valor de la primera le corresponde un y sólo un valor de la segunda”, en otras palabras, solo puede haber un valor de Y por cada valor de X.
El "equivalente gráfico" de la definición toma forma como la regla o prueba de la "línea vertical” si una línea vertical solo interseca o corta una vez a la gráfica, entonces corresponde a una función y si la corta más de una vez la gráfica no es una función. En las siguientes gráficas solo la de la izquierda (inciso a) es función. El concepto de función es uno de los más importantes en matemáticas, sin embargo existe dificultad para una correcta comprensión. Lo anterior parece difícil de creer si se tiene en cuenta que ya existía el concepto de manera intuitiva desde la antigüedad, al menos desde hace 4000 años. El concepto intuitivo de función permaneció sin cambio hasta el año 1718 en que el gran matemático Johann Bernoulli define por primera vez lo que es una función: “Se llama función de una variable a una cantidad compuesta, de manera que sea, por esa variable y por constantes”, Leonhard Euler complementa la definición en 1748, cambiando la palabra “cantidad” por “expresión analítica”. El proceso de ajustes a la definición de función continúa por varias décadas hasta que a finales del siglo XIX y principios del XX surge un nuevo concepto llamado “conjunto”, que influyó en las posteriores definiciones de la función, la más importante realizada por un grupo de matemáticos, que se hacían llamar Bourbaki, quienes en 1939 le imprimieron un carácter de mayor formalidad a la definición.
El concepto de función es uno de los más importantes en matemáticas, sin embargo existe dificultad para una correcta comprensión. Lo anterior parece difícil de creer si se tiene en cuenta que ya existía el concepto de manera intuitiva desde la antigüedad, al menos desde hace 4000 años. El concepto intuitivo de función permaneció sin cambio hasta el año 1718 en que el gran matemático Johann Bernoulli define por primera vez lo que es una función: “Se llama función de una variable a una cantidad compuesta, de manera que sea, por esa variable y por constantes”, Leonhard Euler complementa la definición en 1748, cambiando la palabra “cantidad” por “expresión analítica”. El proceso de ajustes a la definición de función continúa por varias décadas hasta que a finales del siglo XIX y principios del XX surge un nuevo concepto llamado “conjunto”, que influyó en las posteriores definiciones de la función, la más importante realizada por un grupo de matemáticos, que se hacían llamar Bourbaki, quienes en 1939 le imprimieron un carácter de mayor formalidad a la definición. 
gracias a esto puedo relizar un mapa conceptual aerca de las funciones y modelos matematicos en contexto la informacion es muy buena solo que falto agregar la definicion de cada una de la funciones
ResponderEliminarDE nada...
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